3 יחידות · בגרות · נושא ויזואלי

פונקציות וגרפים

קו ישר, שיפוע, וחיתוך עם הצירים

מה זו פונקציה? בסיס

פונקציה היא כלל שמגדיר: לכל ערך שמכניסים — מקבלים ערך יחיד בחזרה. בצורה פשוטה: לכל x מתקבל y אחד בדיוק.

m·x + b = y

זו צורת הקו הישר. כל קו ישר במישור נכתב בצורה הזו.

💡 דוגמה מהחיים

נסיעה במונית: 5 ש"ח לכל ק"מ + 10 ש"ח פתיחה. זה בדיוק y = 5x + 10.
שיפוע m=5 (המחיר לק"מ), חיתוך y = 10 (עמלת הפתיחה).

שני הפרמטרים חשוב מאוד

השיפוע — כמה הקו עולה/יורד

החיתוך עם ציר ה-y

💡 איך לזכור

ב-y = mx + b:
• m = השיפוע. אם m חיובי — הקו עולה ⬈. אם m שלילי — הקו יורד ⬊. אם m=0 — הקו אופקי.
• b = הנקודה שבה הקו חוצה את ציר ה-y (כשהערך האופקי הוא 0, כלומר x=0).

דוגמאות דוגמאות קלאסיות

y = 2x + 3 → שיפוע 2 (עולה), חוצה את ציר y בנקודה 3

y = −x + 5 → שיפוע −1 (יורד), חוצה את ציר y בנקודה 5

y = 4 → קו אופקי בגובה 4 (אין x, אז השיפוע 0)

y = 3x → עובר דרך ראשית הצירים (b=0)

חיתוך עם הצירים שאלה קלאסית

בבגרות שואלים הרבה איפה הקו חוצה את הצירים:

עם ציר y: מציבים x=0. אם y = 2x+6, אז y = 2·0+6 = 6. נקודה: (0, 6)

עם ציר x: מציבים y=0. אם y = 2x+6, אז 0 = 2x+6, ומכאן x = −3. נקודה: (−3, 0)

איך מחשבים שיפוע מבין נקודות נוסחה חשובה

אם נתונות שתי נקודות (x₁,y₁) ו-(x₂,y₂) על הקו:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

נקודות (1, 3) ו-(4, 9): m = (9−3)/(4−1) = 6/3 = 2

טעויות נפוצות להיזהר

1. השיפוע m הוא המקדם של x, לא של y. ב-y = 5x+2, השיפוע הוא 5, לא 2.

2. שני קווים מקבילים = אותו שיפוע m, אבל b שונה. קווים עם אותו m ו-b זהה הם אותו קו בדיוק.

3. בנוסחת השיפוע — y תמיד למעלה, x למטה. אם תחלפו — התוצאה תהיה הפוכה לגמרי.

4. אם המשוואה כתובה כמו 2y = 4x + 6 — חלקו ב-2 קודם ורק אז קראו את m: y = 2x + 3, שיפוע = 2.

קריאת שיפוע מהמשוואה מיידי

כשהמשוואה בצורת y = mx + b — השיפוע הוא המקדם של x. לפעמים צריך לסדר קודם:

y = 3x + 5 → שיפוע = 3

y = −2x + 1 → שיפוע = −2 (קו יורד)

2y = 4x + 6 → y = 2x + 3 → שיפוע = 2

טיפ: אם המשוואה לא בצורת y = ..., בודדו את y קודם. ואז m הוא המקדם של x.

קווים מקבילים — אותו שיפוע חשוב לבגרות

שני קווים מקבילים — לעולם לא נחתכים — יש להם אותו m:

y = 2x + 3 || y = 2x − 7 (שניהם m=2, מקבילים)

y = −x + 5 || y = −x (שניהם m=−1)

כלל: קו מקביל ל-y=mx+b עם מקדם m זהה אבל b שונה. לדוגמה — קו מקביל ל-y=3x+1 שעובר דרך (0,4) הוא y=3x+4.

נקודת חיתוך של שני קווים מערכת משוואות

בואו נסתכל על מציאת הנקודה שבה שני קווים נחתכים:

קו 1: y = 2x + 1 קו 2: y = −x + 7

נשווה: 2x + 1 = −x + 7 → 3x = 6 → x = 2

נציב: y = 2·2 + 1 = 5. נקודת חיתוך: (2, 5)

שיטה: כששני הביטויים שווים ל-y — נשווה אותם זה לזה, נפתור ל-x, ונציב בחזרה למצוא y.

הגרף החי 📊

הזיזו את המחוונים — הקו ישתנה בזמן אמת. תרגישו מה השיפוע m ומה b עושים.

y = 1·x + 0

חיתוך עם ציר y

(0, 0)

חיתוך עם ציר x

(0, 0)

כיוון הקו

⬈ עולה

שיפוע m1

חיתוך b0

משחק הקווים 🎮

שאלות מגוונות על שיפוע, חיתוכים, וזיהוי קווים.

שחקן

מחשב

לחצו כדי להתחיל