3 יחידות · בגרות · נקודות במישור

גיאומטריה אנליטית

מרחק, אמצע, ושיפוע בין שתי נקודות

מה זו גיאומטריה אנליטית? בסיס

גיאומטריה אנליטית = גיאומטריה במערכת צירים. במקום לדבר על "נקודה" באוויר, כל נקודה מוגדרת ע"י זוג מספרים (x, y).

הנקודה A(2, 3) נמצאת 2 צעדים ימינה ו-3 צעדים למעלה מנקודת הראשית. הנקודה B(−1, 4) — 1 שמאלה ו-4 למעלה.

💡 הרעיון המרכזי

יודעים את הקואורדינטות של שתי נקודות? אז אפשר לחשב:
מרחק ביניהן · נקודת האמצע · שיפוע הישר שעובר דרכן.
שלוש נוסחאות פשוטות — וזה כל הפרק.

שלוש הנוסחאות החשובות לבגרות

נתונות שתי נקודות: A(x₁, y₁) B(x₂, y₂)

📏 מרחק בין שתי נקודות

אורך הקטע AB:

AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

הנוסחה היא בעצם משפט פיתגורס — שני ההפרשים הם הניצבים, והמרחק הוא היתר.

📍 אמצע קטע

הנקודה שנמצאת בדיוק באמצע הדרך מ-A ל-B:

M = ( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 )

פשוט: ממוצע של x-ים, ממוצע של y-ים.

📈 שיפוע

שיפוע הקו דרך A ו-B:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

חישוב: כמה הקו עולה לחלק כמה הוא זז ימינה.

דוגמה מלאה

נתונות הנקודות A(1, 2) B(4, 6). נמצא את שלושת הערכים:

מרחק: √((4−1)² + (6−2)²) = √(9+16) = √25 = 5

אמצע: ((1+4)/2, (2+6)/2) = (2.5, 4)

שיפוע: (6−2)/(4−1) = 4/3

מקרים מיוחדים חשוב להכיר

קו אופקי: y₁ = y₂ → שיפוע = 0

קו אנכי: x₁ = x₂ → שיפוע אינו מוגדר (חילוק באפס)

שתי נקודות זהות: מרחק = 0, אין שיפוע

טריק לזכור: אם הנקודות באותו גובה (y שווה) — קו ישר אופקי, שיפוע 0. אם באותו אנכי (x שווה) — אין שיפוע.

טעויות נפוצות להיזהר

1. בנוסחת המרחק — אל תשכחו את השורש! זה לא רק (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)², אלא השורש של זה.

2. בנוסחת השיפוע — y תמיד למעלה, x למטה. אם תהפכו, תקבלו את התוצאה ההפוכה.

3. שמרו על סדר הנקודות עקבי: אם בנוסחה אחת אתם מחשבים x₂−x₁, אז גם ב-y תחשבו y₂−y₁ (לא הפוך).

4. סימנים שליליים — שמרו על הסוגריים: (−3)² זה 9, לא −9.

נוסחת המרחק נובעת מפיתגורס למה זה עובד

נוסחת המרחק היא בדיוק משפט פיתגורס — רק מוסתרת קצת:

בין A(1,2) ל-B(4,6): הפרש x = 3 (ניצב אופקי)

הפרש y = 4 (ניצב אנכי)

מרחק = יתר = √(3²+4²) = √25 = 5

טיפ לזכור: ציירו בראש משולש ישר-זווית בין שתי הנקודות — רגל אופקית = הפרש x, רגל אנכית = הפרש y, היתר = המרחק. בדיוק כמו 3-4-5.

אמצע קטע — דוגמה עם שליליים תרגול

הנוסחה עובדת גם עם מספרים שליליים — פשוט ממוצע של כל ציר:

A(−4, 6) ו-B(2, −2)

x של האמצע: (−4+2)/2 = −2/2 = −1

y של האמצע: (6+(−2))/2 = 4/2 = 2

M(−1, 2)

בדיקה: האמצע תמיד "בין" שתי הנקודות. אם A שלילי ו-B חיובי — האמצע בתוך הטווח. אם יצאה תוצאה קיצונית — כנראה טעות.

שיפוע — משמעות ויזואלית להבין לא רק לחשב

שיפוע אומר: כמה הקו עולה לכל צעד ימינה. זה עוזר להבין מה הסימן אומר:

m = 2 → עולה 2 יחידות לכל צעד ימינה (קו עולה בחדות)

m = 0.5 → עולה 1 לכל 2 צעדים (קו עולה בעדינות)

m = 0 → קו אופקי, לא עולה ולא יורד

m = −3 → יורד 3 יחידות לכל צעד ימינה (קו יורד)

m = לא מוגדר → קו אנכי לגמרי (x קבוע)

כלל: שיפוע חיובי = קו עולה משמאל לימין. שיפוע שלילי = קו יורד. ככל שהמספר גדול יותר — הקו תלול יותר.

גררו את הנקודות 🎯

נסו לגרור את הנקודות הכחולה והאדומה — ותראו את המרחק, האמצע והשיפוע משתנים בזמן אמת.

↑ אפשר ללחוץ ולגרור את הנקודות הצבעוניות

A(2, 3)

B(5, 7)

📏 מרחק AB

📍 אמצע M

(3.5, 5)

📈 שיפוע m

1.33

משחק הנקודות 🎮

חישבו מרחק, אמצע ושיפוע בין נקודות.

שחקן

מחשב

לחצו כדי להתחיל

מה זו גיאומטריה אנליטית? בסיס

שלוש הנוסחאות החשובות לבגרות

📏 מרחק בין שתי נקודות

📍 אמצע קטע

📈 שיפוע

דוגמה מלאה

מקרים מיוחדים חשוב להכיר

טעויות נפוצות להיזהר

נוסחת המרחק נובעת מפיתגורס למה זה עובד

אמצע קטע — דוגמה עם שליליים תרגול

שיפוע — משמעות ויזואלית להבין לא רק לחשב

גררו את הנקודות 🎯

משחק הנקודות 🎮

📈 חקור גיאומטריה אנליטית — גרפים