למה צריך אותן? בגרות חובה
במקום לפתוח סוגריים בכפל ארוך — שלוש נוסחאות נותנות לכם קיצור מיידי. הן חוזרות בכל שאלה כמעט: ריבועיות, פירוק לגורמים, שורשים — בכל מקום.
💡 הסוד
תלמיד שזוכר את 3 הנוסחאות בעל-פה — חוסך לעצמו 30 שניות בכל שאלה, ופחות טעויות. שווה את ההשקעה!
שלוש הנוסחאות לשנן
נוסחה 1 — ריבוע סכום
(a + b)² = a² + 2ab + b²
נוסחה 2 — ריבוע הפרש
(a − b)² = a² − 2ab + b²
נוסחה 3 — הפרש ריבועים
(a + b)(a − b) = a² − b²
שימו לב לדפוס: ב-2 הראשונות הסימן באמצע הוא מה שמשתנה (+ או −). בנוסחה 3 — שני סוגריים הופכיים נותנים הפרש ריבועים בלי איבר אמצעי.
דוגמאות מספריות להתחיל קל
(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 9 = x² + 6x + 9
(x − 5)² = x² − 2·x·5 + 25 = x² − 10x + 25
(x + 4)(x − 4) = x² − 16
(2x + 1)² = 4x² + 4x + 1
(3x − 2)² = 9x² − 12x + 4
איך לזהות איזו נוסחה להפעיל? טיפ פרקטי
✓ רואים (משהו)² עם + בפנים → נוסחה 1
✓ רואים (משהו)² עם − בפנים → נוסחה 2
✓ רואים שני סוגריים זהים חוץ מהסימן (+ ו-−) → נוסחה 3
טיפ זהב: גם בכיוון הפוך! פירוק לגורמים
הנוסחאות עובדות בשני הכיוונים. אם רואים ביטוי כמו x² − 9, מזהים הפרש ריבועים (3²=9) ופותחים: (x+3)(x−3).
x² − 25 = (x + 5)(x − 5)
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
x² − 6x + 9 = (x − 3)²
4x² − 1 = (2x + 1)(2x − 1)
זה השימוש המרכזי לפירוק לגורמים — נושא שיש לו עמוד נפרד.
טעויות נפוצות להיזהר
1. אסור לכתוב (a+b)² = a² + b². חייבים את 2ab באמצע!
2. בנוסחה 2 — האיבר האמצעי שלילי (−2ab), אבל ה-b² חיובי (כי שלילי בריבוע = חיובי).
3. כשיש מקדם כמו (2x+3)² — צריך לרבע גם את ה-2: (2x)² = 4x², לא 2x².
4. ב-2ab — אם a או b שליליים, שימו לב לסימן הכולל.
(a+b)² — פריסה שלב אחר שלב נוסחה 1
בואו נפתח לאט לאט, כדי להבין למה יש 2ab:
(a + b)² = (a + b)(a + b)
= a·a + a·b + b·a + b·b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
שימו לב: ה-2ab בא מכך ש-a·b מופיע פעמיים — פעם מהאיבר הראשון ופעם מהשני. לכן תמיד כותבים 2ab.
(a−b)² — כמו נוסחה 1 אבל עם שינוי נוסחה 2
ההבדל היחיד: האיבר האמצעי שלילי. b² נשאר חיובי!
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(x − 4)² = x² − 8x + 16 (לא −16!)
(3 − y)² = 9 − 6y + y²
(2x − 5)² = 4x² − 20x + 25
כלל: b² תמיד חיובי — כי שלילי בריבוע = חיובי. הסימן המינוס נמצא רק אצל 2ab.
(a+b)(a−b) — הפרש ריבועים נוסחה 3
שני סוגריים עם אותם איברים, רק הסימן שונה — מייצרים הפרש ריבועים בלי איבר אמצעי:
(a + b)(a − b) = a² − b²
(x + 5)(x − 5) = x² − 25
(3 + y)(3 − y) = 9 − y²
(2x + 7)(2x − 7) = 4x² − 49
איך לזהות: שני סוגריים? אחד עם + ואחד עם −? אותם מספרים/אותיות? → נוסחה 3 מייד!