בגרות · גיאומטריה

משולשים

שלושת סוגי המשולשים והתכונות שלהם

הכלל הזהוב חוק יסוד

בכל משולש בעולם — לא משנה איזה — סכום הזוויות הוא תמיד 180°:

α + β + γ = 180°

60° + 70° + 50° = 180°

💡 שימוש מעשי

אם יודעים שתי זוויות במשולש — תמיד אפשר למצוא את השלישית: γ = 180° − α − β

שלושת הסוגים המיוחדים להכיר היטב

שווה-שוקיים

2 צלעות שוות (שוקיים)
2 זוויות בסיס שוות
זווית הראש שונה

שווה-צלעות

כל 3 הצלעות שוות
כל הזוויות 60°
סימטרי מכל הכיוונים

ישר-זווית

זווית אחת = 90°
שתי הצלעות הקטנות = ניצבים
הצלע מול 90° = יתר

שווה-שוקיים וישר-זווית

זווית 90° + שני ניצבים שווים
שתי הזוויות החדות = 45°
פופולרי בבגרות!

משפט פיתגורס חובה לדעת

במשולש ישר-זווית בלבד — קיים קשר מיוחד בין הצלעות:

a² + b² = c²

סכום ריבועי הניצבים = ריבוע היתר

דוגמה קלאסית: ניצבים 3 ו-4 → יתר = √(9+16) = √25 = 5
זה המשולש המפורסם 3-4-5. כדאי לזכור גם 5-12-13 ו-8-15-17.

תכונה חשובה: גובה במשולש שווה-שוקיים טריק יפה

במשולש שווה-שוקיים, הגובה לבסיס מקיים שלוש תכונות חשובות בו-זמנית:

✓ הוא חוצה את הבסיס לשני חלקים שווים

✓ הוא חוצה את זווית הראש לשתי זוויות שוות

✓ הוא ניצב לבסיס (יוצר זווית 90°)

טיפ: זה הופך משולש שו"ש לשני משולשים ישרי-זווית זהים → אפשר להשתמש בפיתגורס!

טעויות נפוצות להיזהר

1. פיתגורס פועל רק במשולש ישר-זווית! לא בכל משולש.

2. במשולש שו"ש — זווית הראש לא תמיד 60°. רק במשולש שווה-צלעות הכל 60°.

3. סכום שתי צלעות במשולש חייב להיות גדול מהצלע השלישית. אי-שוויון המשולש: a + b > c.

ההיפך של פיתגורס — לזהות ישר-זווית כלי חשוב

משפט פיתגורס פועל בשני הכיוונים: אם שלוש צלעות מקיימות a²+b²=c² — המשולש ישר-זווית:

3, 4, 5 → 9+16=25 ✓ → ישר-זווית

5, 12, 13 → 25+144=169 ✓ → ישר-זווית

4, 5, 6 → 16+25=41 ≠ 36 → לא ישר-זווית

בבגרות: כשנותנים שלוש צלעות ושואלים "האם ישר-זווית?" — פשוט בודקים אם a²+b²=c². אחד המקרים הנפוצים ביותר בשאלות.

שטח משולש — הנוסחה הבסיסית נוסחה

שטח כל משולש = בסיס כפול גובה חלקי 2. הגובה חייב להיות ניצב לבסיס:

S = (base × height) / 2

בסיס = 6, גובה = 4 → שטח = 6·4/2 = 12

בסיס = 10, גובה = 7 → שטח = 10·7/2 = 35

טריק לישר-זווית: הניצבים הם הבסיס והגובה! S = ניצב₁ × ניצב₂ / 2. הרבה יותר קל מאשר לחפש גובה.

משולש 30-60-90 — יחסי הצלעות לבגרות

במשולש ישר-זווית עם זוויות 30°, 60°, 90° — יחס הצלעות קבוע תמיד:

1 : √3 : 2

מול 30° → הניצב הקטן (= 1)

מול 60° → הניצב הגדול (= √3)

מול 90° → היתר (= 2)

דוגמה: יתר = 10 → ניצב קטן = 5, ניצב גדול = 5√3

שימוש: בשאלות טריגונומטריה על 30° ו-60° — אפשר לפתור גם בלי מחשבון, רק עם יחסים אלה.

מסווג המשולשים 🔺

בחרו סוג משולש — תראו אותו מצויר עם כל התכונות מודגשות.

משולש שווה-שוקיים

משחק המשולשים 🎮

זוויות, צלעות, סוגי משולשים, ופיתגורס.

שחקן

מחשב

לחצו כדי להתחיל