מה זו טריגונומטריה? בסיס
טריגונומטריה היא חקר היחסים במשולש. בבגרות 3 יח"ל מתעסקים במשולש ישר-זווית בלבד — אחת הזוויות בו היא 90°.
💡 הרעיון המרכזי
אם יודעים זווית אחת ואורך אחד במשולש — אפשר למצוא את כל השאר. הקסם של טריגונומטריה הוא בדיוק זה.
שלושת הצלעות חשוב מאוד
במשולש ישר-זווית — ביחס לזווית מסוימת (לא הזווית הישרה) — לכל צלע יש שם:
יתר (Hypotenuse)
הצלע מול הזווית הישרה — תמיד הארוכה ביותר
נגדית (Opposite)
הצלע מול הזווית שמתעניינים בה (θ)
סמוכה (Adjacent)
הצלע צמודה לזווית (לא היתר)
שלוש הפונקציות הלב של הנושא
כל פונקציה היא יחס בין שתי צלעות:
איך לזכור: SOH-CAH-TOA דרך הזכירה הקלאסית
SOH · CAH · TOA
Sin = Opposite / Hypotenuse
Cos = Adjacent / Hypotenuse
Tan = Opposite / Adjacent
תלמידים בכל העולם זוכרים את ה-3 נוסחאות באמצעות "SOH-CAH-TOA". פשוט אומרים את זה בקול 20 פעמים — וזה נשאר לכל החיים.
דוגמה מלאה
במשולש ישר-זווית, היתר = 10 ס"מ, וזווית אחת = 30°. מצאו את הנגדית.
sin 30° = נגדית / יתר
sin 30° = נגדית / 10
0.5 = נגדית / 10
נגדית = 10 · 0.5 = 5 ס"מ
שלבים: 1) מזהים איזו צלע מבקשים. 2) בוחרים את הפונקציה (sin/cos/tan) שכוללת אותה ואת מה שיודעים. 3) פותרים משוואה פשוטה.
ערכים שכדאי לדעת בעל-פה מועדפי הבגרות
| זווית | sin | cos | tan |
|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | — |
טעויות נפוצות להיזהר
1. הנגדית והסמוכה מתחלפות לפי הזווית! אם משנים זווית — הצלעות "מחליפות תפקיד".
2. היתר תמיד הצלע הארוכה, ותמיד מול הזווית הישרה. היא לא משתנה לפי הזווית.
3. שימו לב למחשבון — לעבוד ב-מצב DEG (מעלות), לא ברדיאנים. אחרת תקבלו תשובות שגויות.
שימוש במחשבון — איך נכון מחשבון
רוב השאלות בבגרות מרשות מחשבון. הנה הצעדים:
1. וודאו שהמחשבון במצב DEG (לא RAD, לא GRAD)
2. sin 37° → לחצו: sin → 37 → = → מקבלים 0.602
3. cos 52° → לחצו: cos → 52 → = → מקבלים 0.616
4. tan 71° → לחצו: tan → 71 → = → מקבלים 2.904
שלב שלם: יתר=8, זווית=40°, מצאו נגדית.
sin 40° = נגדית / 8 → נגדית = 8 · sin 40° = 8 · 0.643 ≈ 5.14
למצוא זווית כשיודעים את היחס הפוך
אם יודעים את היחס בין הצלעות — אפשר למצוא את הזווית עם arcsin / arccos / arctan (זה ה"הפוך" של sin/cos/tan):
sin θ = 0.5 → θ = arcsin(0.5) = 30°
cos θ = √3/2 → θ = arccos(0.866) = 30°
tan θ = 1 → θ = arctan(1) = 45°
במחשבון: לחצו על sin⁻¹ (או SHIFT+sin) ואז את המספר. זה arcsin. בגרות 3 יח"ל בודקת את זה!
בעיה מילולית — מגדל ולתו יישום
שאלה טיפוסית: מגדל גבוה 20 מ', זווית הראייה מהקרקע = 60°. מה המרחק האופקי מהמגדל?
tan 60° = נגדית / סמוכה = 20 / מרחק
√3 = 20 / מרחק
מרחק = 20 / √3 = 20√3/3 ≈ 11.55 מ'
הכלל: מזהים מה "נגדית", מה "סמוכה", מה "יתר" — ובוחרים sin/cos/tan בהתאם. SOH-CAH-TOA!