מהו אי-שוויון? בסיס
במשוואה אנחנו מחפשים x = מספר. באי-שוויון אנחנו מחפשים תחום — קבוצה שלמה של ערכים שמקיימים את התנאי.
חמשת הסימנים:
x > 3
x < 3
x ≥ 3
x ≤ 3
x ≠ 3
גדול
קטן
גדול או שווה
קטן או שווה
שונה
הבדל מרכזי ממשוואות: לאי-שוויון יש בדרך כלל אינסוף פתרונות. התשובה היא תחום, לא נקודה אחת.
הכלל החשוב ביותר — היפוך סימן! קריטי
כשכופלים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי — חובה להפוך את כיוון הסימן.
💡 למה זה קורה?
דמיינו: 3 < 5. נכון? עכשיו תכפילו ב-(−1):
3·(−1) = −3, 5·(−1) = −5
אבל
−3 גדול מ-
−5!
(−3 > −5). לכן הסימן התהפך מ-< ל->.
−2x > 6 → x < −3 (חילקנו ב-−2, הסימן התהפך)
−x ≤ 4 → x ≥ −4 (חילקנו ב-−1, הסימן התהפך)
3x − 2 > 7 → 3x > 9 → x > 3 (חילקנו ב-3 חיובי, בלי היפוך)
5 − x ≥ 10 → −x ≥ 5 → x ≤ −5 (היפוך!)
רק כפל/חילוק בשלילי! חיבור או חיסור של מספר שלילי לא הופך את הסימן. −3+x > 0 → x > 3 (בלי היפוך).
אי-שוויון ממעלה ראשונה פתרון
בדיוק כמו משוואה ממעלה ראשונה — מבודדים את x. רק זוכרים את כלל ההיפוך.
2x + 3 > 7 → 2x > 4 → x > 2
5 − 2x ≤ 1 → −2x ≤ −4 → x ≥ 2
4x − 1 ≥ 2x + 5 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3
3(2 − x) < 9 → 6 − 3x < 9 → −3x < 3 → x > −1
הצגה על ציר המספרים ציור
בבגרות מצפים שתציירו את הפתרון על ציר מספרים. שני דברים לזכור:
> או < (גדול/קטן)
○ עיגול פתוח
המספר עצמו לא כלול
≥ או ≤ (גדול/קטן או שווה)
● עיגול סגור
המספר עצמו כלול
דוגמה: x ≥ 2
←
→
צד ימין = x גדול יותר (→), צד שמאל = x קטן יותר (←)
אי-שוויון ממעלה שנייה פרבולה
כשיש x² — זה כבר לא קו ישר. צריך לפתור משוואה, למצוא שורשים, ולבדוק תחומים.
💡 שיטה: ציר המספרים המחולק
1. מעבירים הכול לאגף אחד:
ax² + bx + c > 0.
2. פותרים את
המשוואה ax² + bx + c = 0 (מוצאים שורשים
x₁, x₂).
3. מסמנים את השורשים על ציר — הם מחלקים אותו ל-3 תחומים.
4. בודקים
נקודה אחת מכל תחום — איפה הביטוי חיובי ואיפה שלילי.
5. בוחרים את התחום שמתאים לאי-השוויון.
x² − 5x + 6 > 0 → שורשים: x=2, x=3 → ציר: (2)---(3) → בדיקה: x=0 → 6>0 ✓, x=2.5 → −0.25<0 ✗, x=4 → 2>0 ✓
פתרון: x < 2 או x > 3
טיפ: אם a>0 (מקדם x² חיובי) — הפרבולה "מחייכת" (∪). הביטוי שלילי בין השורשים, חיובי מחוץ להם. זוכרים את זה — וחוסכים בדיקות!
אי-שוויונות עם שברים תחום הגדרה!
קודם כל — תחום הגדרה (מכנה ≠ 0). אחר כך — לא כופלים במכנה כי הוא יכול להיות שלילי (ואי אפשר לדעת אם צריך להפוך סימן). במקום זה:
1.מעבירים הכול לאגף אחד כך שבאגף השני יש 0.
2.מכנה משותף — הופכים לשבר אחד.
3.בודקים מתי המונה = 0 ומתי המכנה = 0 — אלה נקודות החלוקה.
4.מחלקים ציר, בודקים תחומים — כמו באי-שוויון ריבועי.
טעויות נפוצות להיזהר
1. שוכחים להפוך סימן. כפול/חלק במספר שלילי = הפוך את הסימן. תמיד.
2. מבלבלים בין עיגול פתוח לסגור. ≥ או ≤ ← סגור. > או < ← פתוח.
3. כופלים במכנה בלי לדעת את הסימן שלו. x−3 יכול להיות חיובי או שלילי — אי אפשר לדעת. לכן לא כופלים! מעבירים הכול לאגף אחד ומשווים ל-0.
4. שוכחים לבדוק תחום הגדרה באי-שוויון עם שברים. הערכים שמאפסים את המכנה תמיד אסורים — גם אם הם מקיימים את אי-השוויון.