בגרות · גיאומטריה

חפיפת משולשים

אותה צורה, אותו גודל — ארבעת משפטי החפיפה ואיך מוכיחים

מהי חפיפת משולשים? הגדרה

שני משולשים חופפים אם יש להם אותן צלעות ואותן זוויות — כלומר, הם זהים לחלוטין בצורתם ובגודלם. מסמנים: △ABC ≅ △DEF.

צורה זהה + גודל זהה = חפיפה

💡 חפיפה מול דמיון

דמיון — אותן זוויות, יחס קבוע בין צלעות (k, לאו דווקא 1).
חפיפה — מקרה פרטי של דמיון שבו k = 1.
כל חפיפה היא דמיון, אבל לא כל דמיון הוא חפיפה.

ארבעת משפטי החפיפה ⭐

צ.ז.צ

שתי צלעות והזווית ביניהן שוות

ז.צ.ז

שתי זוויות והצלע ביניהן שוות

צ.צ.צ

שלוש הצלעות שוות בהתאמה

צ.צ.ז (זווית מול צלע)

שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה שוות

שימו לב! צ.צ.ז תקף רק כשהזווית היא מול הצלע הגדולה מבין השתיים. אם הזווית מול הצלע הקטנה — זה לא משפט חפיפה!

איך מוכיחים חפיפה? שלבים

1. מזהים את שני המשולשים שרוצים להוכיח שהם חופפים.

2. רושמים את הנתונים הידועים: צלעות שוות, זוויות שוות.

3. מחפשים שלושה רכיבים (צלעות/זוויות) שמתאימים לאחד ממשפטי החפיפה.

4. כותבים: △___ ≅ △___ לפי משפט ___.

5. מהחפיפה מסיקים מסקנות: צלעות שוות, זוויות שוות, שטחים שווים.

נתון: AB=DE, AC=DF, ∠A=∠D → לפי צ.ז.צ: △ABC ≅ △DEF

מסקנה אוטומטית: BC=EF, ∠B=∠E, ∠C=∠F, השטחים שווים

צלע משותפת / זווית משותפת טריק!

בהרבה שאלות בגרות, יש צלע משותפת או זווית משותפת לשני המשולשים — זו המתנה הכי גדולה להוכחה.

אם משולשים חולקים צלע — הצלע המשותפת שווה לעצמה (ברור, אבל כותבים: "צלע משותפת").

אם משולשים חולקים זווית — הזווית המשותפת שווה לעצמה.

זוויות קודקודיות — תמיד שוות.

זוויות קודקודיות נוצרות כששני ישרים נחתכים. הן תמיד שוות ומהוות רכיב מצוין בהוכחת חפיפה.

טעויות נפוצות להיזהר

1. צ.צ.ז לא תמיד תקף. חייבים שהזווית תהיה מול הצלע הגדולה. צ.צ.ז עם זווית מול צלע קטנה — לא מבטיח חפיפה!

2. מבלבלים בין צ.ז.צ לז.צ.ז. צ.ז.צ — הזווית בין הצלעות. ז.צ.ז — הצלע בין הזוויות.

3. שוכחים לרשום את משפט החפיפה. בהוכחה מספיק לציין: "לפי צ.ז.צ, המשולשים חופפים".

4. חושבים ששתי צלעות מספיקות. חייבים שלושה רכיבים (צלעות/זוויות) שמתאימים לאחד המשפטים.

משחק חפיפת משולשים 🎮

מהו משפט החפיפה המתאים?

שחקן

מחשב

לחצו כדי להתחיל