בגרות · פונקציות ואלגברה

פונקציית שורש ומשוואות עם שורשים

y = √x · תחום הגדרה · גרף · משוואות · פתרון זר

מהי פונקציית שורש? הגדרה

פונקציית שורש היא פונקציה מהצורה y = √x (שורש ריבועי).

היא מוגדרת רק עבור x ≥ 0 (כי אי אפשר להוציא שורש למספר שלילי במספרים ממשיים).

x y y = √x תחום הגדרה: x ≥ 0
צורת הגרף: עקומה עולה שמתחילה מראשית הצירים. היא מתרחבת לאט — ככל ש-x גדל, הגרף עולה פחות בתלילות.

תכונות הפונקציה y = √x ⭐

1. תחום הגדרה: x ≥ 0.
2. טווח (תמונה): y ≥ 0.
3. חיתוך עם ציר x: (0,0).
4. חיתוך עם ציר y: (0,0).
5. התנהגות: פונקציה עולה לכל x ≥ 0 (כי ככל ש-x גדל, √x גדל).
6. אין נקודות קיצון.

הזזות — פונקציית שורש עם פרמטרים וריאציות

y = √(x + a)  — הזזה אופקית. ת"ה: x + a ≥ 0 → x ≥ −a
y = √x + b  — הזזה אנכית: b יחידות למעלה
y = √(x − 3)  — ת"ה: x ≥ 3. גרף: √x זז 3 יחידות ימינה
y = √x + 2  — גרף √x זז 2 יחידות למעלה

חיתוך פונקציית שורש עם ישר חיתוך

מוצאים חיתוך בין y = √x (או √(x+a)) לבין y = mx + b על ידי השוואה.

חיתוך: y = √x ו-y = 2
√x = 2 → x = 4 (נעלה בריבוע). נקודה: (4,2).
חיתוך: y = √(x−1) ו-y = x − 3
√(x−1) = x−3 → נעלה בריבוע: x−1 = x²−6x+9 → x²−7x+10=0 → (x−2)(x−5)=0.
בדיקת פתרון זר: x=2 → אגף שמאל 1, אגף ימין −1. לא מתאים! x=5 → 2=2 ✓.
חיתוך: (5,2).
⚠️ פתרון זר! כשמעלים בריבוע, עלולים לקבל פתרון שלא מקיים את המשוואה המקורית. תמיד בדקו הצבה!

משוואות עם שורשים משוואות

שיטה לפתרון:

תחום הגדרה — מה בתוך השורש חייב ≥ 0. גם אגף ימין ≥ 0 (כי שורש ≥ 0).
בידוד השורש — מעבירים אגפים כך שהשורש לבד.
העלאה בריבוע — מעלים את שני האגפים בריבוע.
פותרים — מקבלים משוואה רגילה.
בדיקה — מציבים במשוואה המקורית. פתרון שלא מתאים = פתרון זר.
√(2x+3) = x
ת"ה: 2x+3 ≥ 0 → x ≥ −1.5, וגם x ≥ 0 (אגף ימין). סה"כ: x ≥ 0.
העלאה בריבוע: 2x+3 = x² → x²−2x−3=0 → (x−3)(x+1)=0 → x=3, x=−1.
בדיקה: x=3 → √9=3 ✓. x=−1 → √1=−1 ✗ (שורש לא שלילי).
פתרון: x=3 בלבד.

טעויות נפוצות להיזהר

1. שוכחים תחום הגדרה. לפני כל דבר — מה בתוך השורש ≥ 0.

2. לא בודקים פתרון זר. העלאה בריבוע יוצרת פתרונות "מזויפים". חובה להציב.

3. שוכחים ששורש הוא תמיד ≥ 0. √x = −3 — אין פתרון!

4. מבלבלים בין √(x+2) לבין √x + 2. ת"ה שונה לגמרי.