מושגי יסוד הגדרות
מרחב המדגם — קבוצת כל התוצאות האפשריות בניסוי. מסמנים ב-Ω (אומגה).
מאורע — תת-קבוצה של מרחב המדגם. למשל: "הקובייה נפלה על מספר זוגי".
הסתברות של מאורע A:
P(A) = (מספר התוצאות ב-A) / (מספר התוצאות ב-Ω)
הטלת קובייה: Ω = {1,2,3,4,5,6} | A = "זוגי" = {2,4,6} → P(A) = 3/6 = 1/2
שליפת קלף מחפיסה: P(מלכה) = 4/52 = 1/13
💡 חוקי יסוד
0 ≤ P(A) ≤ 1 | P(Ω) = 1 | P(מאורע בלתי אפשרי) = 0
P(לא A) = 1 − P(A)
דיאגרמת עץ 🌳 ⭐
דיאגרמת עץ היא כלי ויזואלי לחישוב הסתברויות בניסויים דו-שלביים (או יותר).
כלל המכפלה: בעץ, ההסתברות לתוצאה סופית = מכפלת ההסתברויות לאורך המסלול.
כלל החיבור: ההסתברות למאורע שמורכב מכמה מסלולים = סכום ההסתברויות של המסלולים.
שתי הטלות מטבע: P(עץ,עץ) = ½ · ½ = ¼
P(בדיוק פלי אחד) = P(עץ,פלי) + P(פלי,עץ) = ¼ + ¼ = ½
הסתברות מותנית P(A|B)
הסתברות מותנית — ההסתברות שמאורע A יתרחש, בהינתן שמאורע B כבר התרחש.
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
בכיתה 20 בנים ו-15 בנות. 8 בנים ו-10 בנות מרכיבים משקפיים.
P(משקפיים | בן) = 8/20 = 0.4
P(משקפיים | בת) = 10/15 ≈ 0.67
הקו האנכי "|" נקרא "בהינתן". P(A|B) = ההסתברות של A כשאנחנו יודעים ש-B קרה. מרחב המדגם מצטמצם ל-B.
מאורעות בלתי-תלויים תלויות
שני מאורעות הם בלתי-תלויים אם התרחשות אחד מהם לא משפיעה על ההסתברות של השני.
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) (רק אם בלתי-תלויים!)
הטלת מטבע פעמיים — התוצאות בלתי-תלויות: P(עץ בפ"ש) = ½, P(פלי בשנייה) = ½
P(עץ ואז פלי) = ½ · ½ = ¼
שליפת שני קלפים ללא החזרה — תלויות! המאורע השני תלוי בראשון.
שימו לב! "עם החזרה" = בלתי-תלויים. "בלי החזרה" = תלויים. בשאלות בגרות — שימו לב לניסוח!
נוסחת ברנולי — הצלחה/כישלון נוסחה
כשמבצעים אותו ניסוי n פעמים, עם הסתברות הצלחה p בכל פעם, ההסתברות ל-בדיוק k הצלחות:
P(k) = (n choose k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ
5 הטלות מטבע. P(בדיוק 2 פעמים עץ)?
n=5, k=2, p=½ → P = (10) · (½)² · (½)³ = 10 · ¼ · ⅛ = 10/32 = 5/16
טעויות נפוצות להיזהר
1. שוכחים שסכום הסתברויות = 1. כל הענפים שיוצאים מאותה נקודה — סכום ההסתברויות = 1.
2. מבלבלים בין "וגם" ל"או". "וגם" = מכפלה (בדר"כ). "או" = סכום (אם המאורעות זרים).
3. לא שמים לב ל"עם החזרה" / "בלי החזרה". זה קובע אם המאורעות תלויים או לא!
4. משתמשים בנוסחת המכפלה למאורעות תלויים. P(A∩B) = P(A)·P(B) רק לבלתי-תלויים.