בגרות · גיאומטריה

מעגל

רדיוס, קוטר, היקף, שטח, זוויות ומשיקים — כל מה שצריך לדעת על המעגל

מושגי יסוד הגדרות

רדיוס (r) — מרחק מהמרכז לכל נקודה על המעגל

קוטר (d) — 2r, המיתר הארוך ביותר

מיתר — קטע המחבר שתי נקודות על המעגל

קשת — חלק מההיקף בין שתי נקודות

משיק — ישר הנוגע במעגל בנקודה אחת

זווית מרכזית — קודקודה במרכז, שוקיה על רדיוסים

זווית היקפית — קודקודה על המעגל, שוקיה מיתרים

גזרה — תחום בין שני רדיוסים וקשת

נוסחאות בסיסיות חובה!

היקף: P = 2πr | שטח: A = πr²

רדיוס 5 ס"מ → היקף: 2π·5 = 10π ≈ 31.4 ס"מ

רדיוס 5 ס"מ → שטח: π·5² = 25π ≈ 78.5 סמ"ר

נתון קוטר 12 → רדיוס = 6 → היקף: 12π, שטח: 36π

💡 אורך קשת ושטח גזרה

אורך קשת בזווית מרכזית θ: (θ/360°) · 2πr
שטח גזרה: (θ/360°) · πr²

משפטי הזוויות — הלב של המעגל ⭐

זווית מרכזית = 2 × היקפית

זווית מרכזית שווה לפעמיים הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת

זווית על קוטר = 90°

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא תמיד זווית ישרה

היקפיות על אותה קשת — שוות

כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו

משיק ⊥ רדיוס

רדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק

משיקים — תכונות נוספות משיק

שני משיקים היוצאים מאותה נקודה חיצונית — שווים באורכם

הקטע המחבר את הנקודה החיצונית עם המרכז — חוצה את הזווית בין המשיקים

זווית בין משיק למיתר: זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני. משפט שימושי במיוחד!

טעויות נפוצות להיזהר

1. מבלבלים בין רדיוס לקוטר. בשאלות רבות נותנים קוטר — אל תשכחו לחלק ב-2 כדי לקבל רדיוס!

2. שוכחים ש-π לא שווה 3.14 בדיוק. בבגרות משאירים תשובות עם π (למשל 25π) אלא אם מבקשים קירוב.

3. מבלבלים בין מרכזית להיקפית. מרכזית — קודקוד במרכז. היקפית — קודקוד על המעגל. היחס: מרכזית = 2×היקפית.

4. זווית על קוטר = 90° רק כשהקודקוד על המעגל והשוקיים עוברות דרך קצוות הקוטר.

משחק מעגל 🎮

ענו על השאלות — נוסחאות, זוויות ותכונות

שחקן

מחשב