בגרות · אלגברה

משוואות דו-ריבועיות

x⁴ + bx² + c = 0 → הצבה → משוואה ריבועית → חזרה ל-x

מהי משוואה דו-ריבועית? הגדרה

משוואה דו-ריבועית היא משוואה מהצורה:

ax⁴ + bx² + c = 0

כאשר a ≠ 0. אין איבר x³ ואין איבר x — רק חזקות זוגיות.

הטריק: מציבים t = x², ואז x⁴ = t². המשוואה הופכת למשוואה ריבועית רגילה!

שיטת הפתרון — 4 שלבים ⭐

הצבה: t = x². שימו לב: t ≥ 0 (כי x² לא יכול להיות שלילי).
פותרים: at² + bt + c = 0 — עם דלתא או פירוק.
בודקים: כל t < 0 — נדחה (אין x ממשי).
חוזרים: x² = t → x = ±√t. כל t > 0 נותן שני פתרונות.

דוגמה מלאה פתרון

פתרו: x⁴ − 13x² + 36 = 0
הצבה: t = x² → t² − 13t + 36 = 0
פירוק: (t−4)(t−9) = 0 → t₁ = 4, t₂ = 9 (שניהם ≥ 0 ✓)
חזרה: x² = 4 → x = ±2.   x² = 9 → x = ±3.
פתרונות: x = 2, −2, 3, −3 (ארבעה פתרונות!)
שימו לב: יש ארבעה פתרונים. בגלל הסימטריה — אם 2 פתרון, גם −2 פתרון.

מקרים מיוחדים וריאציות

1. t שלילי — נדחה. x⁴ + 4x² − 5 = 0 → t² + 4t − 5 = 0 → t=1, t=−5. t=−5 נדחה. x=±1.
2. t = 0 — פתרון יחיד: x = 0.
3. אין t ≥ 0 — אין פתרון ממשי.
4. מקדם a: 2x⁴ − 7x² + 3 = 0 → 2t² − 7t + 3 = 0 → t=3, t=½ → x=±√3, x=±√½.

טעויות נפוצות להיזהר

1. שוכחים ש-t ≥ 0. t שלילי = אין x. מקבלים t=−2? תעצרו — לא ממשיכים.

2. שוכחים את הסימן ±. x² = 4 → x = 2 וגם x = −2. תמיד שני פתרונות!

3. מבלבלים בין x⁴ ל-(x²)². x⁴ = (x²)² = t². לא t⁴!

4. לא בודקים שכל t עבר חזרה. כל t תקף → שני פתרונות x.