בגרות · אלגברה מרכזית

פירוק לגורמים

גורם משותף, טרינום, הפרש ריבועים — איך מפרקים כל ביטוי

למה צריך פירוק לגורמים? בגרות חובה

פירוק לגורמים הוא הפעולה ההפוכה לפתיחת סוגריים. במקום לכפול — אנחנו מפרקים את הביטוי למכפלה של גורמים קטנים יותר.

מתי זה שימושי? כשפותרים משוואות ריבועיות, מצמצמים שברים אלגבריים, מוצאים תחום הגדרה — כמעט בכל נושא באלגברה.

💡 הקשר לנוסחאות הכפל המקוצר

כל מה שלמדתם בדף הקודם עובד גם הפוך. למשל: x² − 9 = (x+3)(x−3). זה פירוק לגורמים!

שלושת סוגי הפירוק לשנן

סוג 1 — גורם משותף

ab + ac → a(b + c)

מוצאים מה משותף לכל האיברים ומוציאים החוצה

סוג 2 — טרינום

x² + 6x + 9 → (x+3)²

מזהים תבנית של נוסחת כפל מקוצר

סוג 3 — הפרש ריבועים

x² − 25 → (x+5)(x−5)

שני ריבועים מופרדים במינוס

סוג 1: הוצאת גורם משותף הכי בסיסי

העיקרון: מוצאים מה חוזר בכל האיברים — מספר, משתנה או שניהם — ומוציאים אותו לפני סוגריים.

3x + 6 = 3(x + 2)

4x² + 8x = 4x(x + 2)

10x³ − 5x² = 5x²(2x − 1)

2xy + 6x = 2x(y + 3)

בדיקה: תמיד אפשר לפתוח את הסוגריים בחזרה ולוודא שקיבלנו את הביטוי המקורי.

סוג 2: פירוק טרינום (ריבוע סכום/הפרש) נוסחאות!

כשרואים שלושה איברים — ייתכן שזה ריבוע של סכום או הפרש. מזהים לפי התבנית:

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

x² − 8x + 16 = (x − 4)²

9x² + 12x + 4 = (3x + 2)²

4x² − 20x + 25 = (2x − 5)²

בדקו את האיבר הראשון: האם הוא ריבוע מושלם? (x², 4x², 9x²...)

בדקו את האיבר האחרון: האם הוא ריבוע מושלם? (25, 16, 4...)

בדקו את האיבר האמצעי: האם הוא שווה ל-2·(שורש הראשון)·(שורש האחרון)?

אם כן — זה (שורש ראשון ± שורש אחרון)², לפי הסימן של האמצעי.

סוג 3: הפרש ריבועים שני איברים במינוס

כשרואים שני איברים שהם ריבועים ומחוברים ביניהם במינוס — זה מתפרק למכפלת סכום-הפרש.

x² − 36 = (x + 6)(x − 6)

4x² − 9 = (2x + 3)(2x − 3)

25x² − 1 = (5x + 1)(5x − 1)

x⁴ − 16 = (x² + 4)(x² − 4)

שימו לב! סכום ריבועים (x² + 9) לא מתפרק לגורמים (במספרים ממשיים). רק הפרש ריבועים.

שילוב שיטות — קודם גורם משותף! טיפ זהב

לפני שבודקים טרינום או הפרש ריבועים — תמיד תבדקו אם אפשר להוציא גורם משותף קודם!

2x² + 12x + 18 = 2(x² + 6x + 9) = 2(x + 3)²

3x² − 27 = 3(x² − 9) = 3(x + 3)(x − 3)

5x³ − 20x = 5x(x² − 4) = 5x(x + 2)(x − 2)

כלל אצבע: קודם מוציאים גורם משותף, ואז ממשיכים לפרק את מה שנשאר בסוגריים. ככה לא מפספסים פירוק מלא.

טעויות נפוצות להיזהר

1. שוכחים לבדוק גורם משותף קודם. אם כל המקדמים מתחלקים במספר — תוציאו אותו לפני הכול.

2. לבלבל בין טרינום להפרש ריבועים. x² − 9 זה שני איברים (הפרש ריבועים). x² − 6x + 9 זה שלושה איברים (טרינום).

3. לחשוב ש-x² + 9 מתפרק. זה לא! סכום ריבועים נשאר כמו שהוא.

4. לא לבדוק אם הפירוק הסתיים. תמיד תשאלו: האם אפשר לפרק עוד? (כמו בדוגמה x⁴ − 16).

משחק הפירוק 🎮

מהו הפירוק המלא של הביטוי?

שחקן

מחשב

לחצו כדי להתחיל