מה זה "תחום הגדרה"? מושג יסוד
תחום ההגדרה של ביטוי אלגברי הוא קבוצת כל המספרים שאפשר להציב בביטוי בלי ליצור בעיה מתמטית.
במילים פשוטות: אנחנו שואלים — אילו ערכים "אסורים"? כל השאר — מותר.
בבגרות 3 יחידות יש שני מצבים עיקריים שאסורים: מכנה = 0 ו-שורש ריבועי של מספר שלילי. כל השאר — בדרך כלל תקין.
כלל 1: מכנה לא יכול להיות 0 🚫 מכנה
אי אפשר לחלק באפס. לכן כל ערך שמאפס את המכנה — אסור.
🚫
איך בודקים?
1. לוקחים את המכנה בלבד.
2. משווים אותו ל-0.
3. פותרים את המשוואה — אלה הערכים האסורים.
4. תחום ההגדרה: כל x חוץ מהערכים האלה.
1/(x − 3) → x − 3 = 0 → x = 3 אסור → ת"ה: x ≠ 3
5/(x + 2) → x + 2 = 0 → x = −2 אסור → ת"ה: x ≠ −2
(x+1)/(x² − 4) → x² − 4 = 0 → x = ±2 אסורים → ת"ה: x ≠ 2, −2
3/(2x − 6) → 2x − 6 = 0 → x = 3 אסור → ת"ה: x ≠ 3
שימו לב! בודקים רק את המכנה. המונה לא משפיע על תחום ההגדרה (הוא יכול להיות כל דבר).
כלל 2: שורש ריבועי של מספר שלילי √ שורש
שורש ריבועי מוגדר רק עבור מספרים אי-שליליים (≥0). לכן הביטוי בתוך השורש חייב להיות גדול או שווה לאפס.
√
איך בודקים?
1. לוקחים את מה שבתוך השורש.
2. דורשים: ≥ 0.
3. פותרים אי-שוויון — זה תחום ההגדרה.
√(x + 4) → x + 4 ≥ 0 → x ≥ −4
√(2x − 6) → 2x − 6 ≥ 0 → x ≥ 3
√(9 − x) → 9 − x ≥ 0 → x ≤ 9
√(x²) → x² ≥ 0 תמיד! → כל x מותר
למה לא "גדול מ-0"? שורש של 0 הוא 0 — וזה בסדר גמור. √0 = 0.
כששני הכללים מופיעים יחד שילוב
אם בביטוי יש גם מכנה וגם שורש — חייבים לספק את שני התנאים בו-זמנית.
1/√(x − 2) → x − 2 ≥ 0 (שורש) + √(x−2) ≠ 0 (מכנה) → x > 2
√(x + 1)/(x − 3) → x + 1 ≥ 0 (שורש) + x ≠ 3 (מכנה) → x ≥ −1, x ≠ 3
√(x)/(x² − 1) → x ≥ 0 (שורש) + x ≠ ±1 (מכנה) → x ≥ 0, x ≠ 1
💡 סיכום — סדר פעולות
1. בדקו מכנה → מצאו ערכים אסורים (≠)
2. בדקו שורש → מצאו תחום מותר (≥)
3. חתכו את שני התנאים יחד
טעויות נפוצות להיזהר
1. שוכחים לבדוק מכנה. בכל ביטוי עם שבר — מיד חושבים "מה מאפס את המכנה?"
2. מתבלבלים: שורש במכנה. ב-1/√(x−1) חייבים גם x−1 ≥ 0 וגם √(x−1) ≠ 0, כלומר x−1 ≠ 0. התוצאה: x > 1 (בלי שוויון!).
3. בודקים גם את המונה. לא צריך! המונה לא קובע תחום הגדרה.
4. שורש שלילי? √(−4) לא מוגדר במספרים ממשיים. אבל √(x²+1) תמיד מוגדר כי x²+1 ≥ 1 > 0.