בגרות · נושאים נוספים

טור חשבוני

סדרה עם הפרש קבוע, איבר כללי, סכום — ולמה זה חשוב

מהו טור חשבוני? הגדרה

סדרה חשבונית היא סדרת מספרים שבה ההפרש בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע. ההפרש הקבוע מסומן ב-d.

3, 7, 11, 15, 19, ... (d = 4)

10, 7, 4, 1, −2, ... (d = −3)

2, 2, 2, 2, ... (d = 0 — סדרה קבועה)

טור חשבוני הוא סכום האיברים של סדרה חשבונית.

💡 איך מזהים?

אם ההפרש בין כל זוג איברים סמוכים זהה — זו סדרה חשבונית. מספיק לבדוק: a₂−a₁ = a₃−a₂.

שתי הנוסחאות שחייבים לדעת ⭐

🔢

איבר כללי

aₙ = a₁ + (n−1)d

מוצאים כל איבר בסדרה לפי מיקומו n

סכום הטור

Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2

סכום n האיברים הראשונים

טיפ: את נוסחת הסכום אפשר לזכור כ: מספר איברים × ממוצע האיבר הראשון והאחרון. הגיוני, נכון?

דוגמה מלאה חישוב

סדרה: 5, 9, 13, 17, ... (a₁=5, d=4)

מצאו את האיבר ה-10: a₁₀ = 5 + (10−1)·4 = 5 + 36 = 41

סכום 10 האיברים הראשונים: S₁₀ = 10·(5 + 41)/2 = 10·46/2 = 10·23 = 230

כמה איברים צריך שסכומם יעבור 100? n=7: S₇ = 7·(5+29)/2 = 7·17 = 119 ✓

מציאת d והאיבר הראשון עבודה הפוכה

לפעמים נתונים שני איברים לא סמוכים — וצריך למצוא את d:

נתון: a₃ = 12, a₇ = 24. מצאו את d.

בין a₃ ל-a₇ יש 4 קפיצות: 7−3 = 4.

ההפרש בין האיברים: 24−12 = 12.

לכן: 4d = 12 → d = 3.

a₁ = a₃ − 2d = 12 − 6 = 6.

💡 כלל שימושי

aₘ − aₙ = (m−n)·d → d = (aₘ − aₙ) / (m−n)

שלוש שאלות אופייניות לבגרות תרגול

שאלת איבר: "נתון a₁=3, d=5. מהו a₂₀?" — מציבים בנוסחת האיבר הכללי.

שאלת סכום: "חשבו את סכום 15 האיברים הראשונים." — קודם מוצאים a₁₅, ואז S₁₅.

שאלת מספר איברים: "סכום n איברים ראשונים הוא 120. מצאו את n." — משווים את נוסחת הסכום ל-120 ופותרים.

דוגמה לשאלה 3: a₁=2, d=3, Sₙ = 120. n(2 + [2+(n−1)·3])/2 = 120 → n(3n+1) = 240 → n=9.

טעויות נפוצות להיזהר

1. שוכחים שזה (n−1) ולא n. aₙ = a₁ + (n−1)d. לא a₁ + n·d!

2. בסכום — שוכחים לחלק ב-2. Sₙ = n(a₁+aₙ)/2. לא n(a₁+aₙ)!

3. מבלבלים בין aₙ ל-n. aₙ זה האיבר האחרון, n זה מספר האיברים.

4. במציאת d — לא סופרים נכון את מספר הקפיצות. בין a₅ ל-a₁₂ יש 12−5 = 7 קפיצות.

משחק טור חשבוני 🎮

חשבו — מה התשובה?

שחקן

מחשב

לחצו כדי להתחיל